{"id":787884,"date":"2020-03-24T17:31:52","date_gmt":"2020-03-24T15:31:52","guid":{"rendered":"https:\/\/pokeriomokykla.com\/gto-pokeryje-ir-uz-jo-ribu-nash-equilibrium"},"modified":"2025-04-28T23:30:35","modified_gmt":"2025-04-28T21:30:35","slug":"gto-pokeryje-ir-uz-jo-ribu-nash-equilibrium","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pokeriomokykla.com\/de\/uber-gto-poker","title":{"rendered":"GTO im Poker und dar\u00fcber hinaus: Nash-Gleichgewicht"},"content":{"rendered":"<figure class=\"wp-block-image aligncenter\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"576\" src=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje.png\" alt=\"Poker GTO\" class=\"wp-image-761411\" srcset=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje.png 1024w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-300x169.png 300w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-768px-432px.png 768w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-320px-180px.png 320w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-120px-68px.png 120w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-336px-188px.png 336w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-213px-120px.png 213w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-pokeryje-700px-394px.png 700w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/p>\n<p>Die Spieltheorie geh\u00f6rt zum Bereich der Mathematik. Spiele haben in diesem Fall eine sehr breite Bedeutung. Im Wesentlichen ist es eine Theorie, die jede Situation analysiert, in der rationale Akteure (meistens Menschen) nach einer festgelegten (oder vorhersehbaren) Strategie handeln. Schon aus dieser Definition l\u00e4sst sich die Anwendung von <a href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/pokerio-teorija-kaip-turetumete-galvoti-apie-zaidima\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">GTO-Konzepten im Poker<\/a> leicht ableiten.<\/p>\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 ez-toc-wrap-left counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-custom ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Inhaltsverzeichnis<\/p>\n<span class=\"ez-toc-title-toggle\"><a href=\"#\" class=\"ez-toc-pull-right ez-toc-btn ez-toc-btn-xs ez-toc-btn-default ez-toc-toggle\" aria-label=\"Toggle Table of Content\"><span class=\"ez-toc-js-icon-con\"><span class=\"\"><span class=\"eztoc-hide\" style=\"display:none;\">Toggle<\/span><span class=\"ez-toc-icon-toggle-span\"><svg style=\"fill: #000000;color:#000000\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" class=\"list-377408\" width=\"20px\" height=\"20px\" viewBox=\"0 0 24 24\" fill=\"none\"><path d=\"M6 6H4v2h2V6zm14 0H8v2h12V6zM4 11h2v2H4v-2zm16 0H8v2h12v-2zM4 16h2v2H4v-2zm16 0H8v2h12v-2z\" fill=\"currentColor\"><\/path><\/svg><svg style=\"fill: #000000;color:#000000\" class=\"arrow-unsorted-368013\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" width=\"10px\" height=\"10px\" viewBox=\"0 0 24 24\" version=\"1.2\" baseProfile=\"tiny\"><path d=\"M18.2 9.3l-6.2-6.3-6.2 6.3c-.2.2-.3.4-.3.7s.1.5.3.7c.2.2.4.3.7.3h11c.3 0 .5-.1.7-.3.2-.2.3-.5.3-.7s-.1-.5-.3-.7zM5.8 14.7l6.2 6.3 6.2-6.3c.2-.2.3-.5.3-.7s-.1-.5-.3-.7c-.2-.2-.4-.3-.7-.3h-11c-.3 0-.5.1-.7.3-.2.2-.3.5-.3.7s.1.5.3.7z\"\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/a><\/span><\/div>\n<nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 eztoc-toggle-hide-by-default' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/de\/uber-gto-poker\/#TOP_Poker-Raeume\" >TOP Poker-R\u00e4ume<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/de\/uber-gto-poker\/#GTO_im_Poker_%E2%80%93_Nash_Equilibrium\" >GTO im Poker &#8211; Nash Equilibrium<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/de\/uber-gto-poker\/#GTO_und_Nash_Equilibrium_Mythen\" >GTO und Nash Equilibrium Mythen<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/de\/uber-gto-poker\/#GTO_im_Poker_%E2%80%93_Neuberechnung_des_Nash-Gleichgewichts\" >GTO im Poker &#8211; Neuberechnung des Nash-Gleichgewichts<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/de\/uber-gto-poker\/#Die_besten_Pokerzimmer_im_Internet\" >Die besten Pokerzimmer im Internet<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"TOP_Poker-Raeume\"><\/span>TOP Poker-R\u00e4ume<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<div class='widget-card placeholder--card'\n     data-source-gql='https:\/\/scg-new-live.stellate.sh\/'\n     data-source-widgetjs='https:\/\/widget.affprojects.com\/widget.js'\n     data-shortcode='widget-card'\n     data-shortcode-text='[top-poker-rooms-for-post]'\n     data-props='{\n\"show_more_button\":true,\n\"show_more_button_text\":\"Show More Bookmakers\",\n\"show_more_text\":false,\n\"show_less_text\":false,\n\"vpn_notification\":false,\n\"show_more_items_amount\":null,\n\"scrollable\":\"always\",\n\"violet_bonus_text\":true,\n\"ab_testing_show_more_button_rework\":true\n}'\n     data-queries='{\n\"type\":\"TOP-Poker\",\n\"limit\":10,\n\"mobile_limit\":10,\n\"show_new\":1,\n\"button_text_type\":\"TOP\",\n\"language\":\"de\",\n\"project\":\"PM\",\n\"page\":1\n}'\n     ><\/div>\n\n<p>Eines der bekanntesten und wichtigsten Prinzipien in der Spieltheorie des Pokers ist das Nash-Gleichgewicht (oder Nash Equilibrium). Viele Pokerspieler kennen diesen Begriff nur aus Tabellen, die Push\/Fold All-in Preflop sind.<\/p>\n<p>In diesen Tabellen ist normalerweise angegeben, bei wie vielen BB man gegen einen Spieler All-in gehen oder callen kann. Nat\u00fcrlich k\u00f6nnen solche Tabellen auch f\u00fcr eine gr\u00f6\u00dfere Anzahl von Spielern erstellt werden, aber das ist in der Regel nicht so einfach (und n\u00fctzlich).<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"GTO_im_Poker_%E2%80%93_Nash_Equilibrium\"><\/span>GTO im Poker &#8211; Nash Equilibrium<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p>Das Nash-Gleichgewicht erschien im Poker erstmals in Form der bekannten \u201e<a href=\"https:\/\/www.holdemresources.net\/hune\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow noopener\">Preflop All-in<\/a>\u201c-Tabellen, da dies der am leichtesten berechenbare Zustand im Spiel ist. Je weniger Chips und Spieler \u00fcbrig sind, desto weniger m\u00f6gliche Entscheidungen (theoretisch) kann jeder von ihnen treffen.<\/p>\n<p>Um besser zu verstehen, wie diese Berechnung der Situation entstanden ist, muss man verstehen, welcher Zustand als Nash-Gleichgewicht gilt. Das Nash Equilibrium ist ein Spielzustand, der erreicht wird, wenn folgende Bedingungen erf\u00fcllt sind:<\/p>\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Es gibt mindestens zwei Spieler.<\/li>\n<li>Es wird ein nicht-kooperatives Spiel gespielt (ein Spiel, bei dem Spieler auf Kosten anderer gewinnen k\u00f6nnen).<\/li>\n<li>Die Strategien aller Spieler sind bekannt.<\/li>\n<li>Es werden solche Strategien formuliert, dass kein Spieler mehr gewinnen kann, indem er nur seine eigene Strategie \u00e4ndert.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Der vierte Punkt ist in diesem Fall der wichtigste. Das Nash-Gleichgewicht beschreibt eine Strategie, bei der alle Spieler optimal spielen. In Pokerbegriffen ist es ein Aktionsplan, bei dem man durch das \u00c4ndern nur dieses Plans nicht mehr EV gewinnen kann.<\/p>\n<p>Im Poker w\u00fcrde das Nash Equilibrium f\u00fcr alle Spieler 0 EV bedeuten.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter GTO Beispiel nicht im Poker wp-image-761414 size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"938\" height=\"405\" src=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/GTO-pavyzdys.png\" alt=\"GTO Beispiel nicht im Poker\" class=\"wp-image-761414\" srcset=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/GTO-pavyzdys.png 938w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/GTO-pavyzdys-300x130.png 300w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/GTO-pavyzdys-768px-332px.png 768w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/GTO-pavyzdys-278px-120px.png 278w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/GTO-pavyzdys-700px-302px.png 700w\" sizes=\"(max-width: 938px) 100vw, 938px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Das Gefangenendilemma &#8211; das h\u00e4ufigste Beispiel in der Spieltheorie<\/figcaption><\/figure>\n<p><a href=\"https:\/\/www.britannica.com\/biography\/John-Nash\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">John Forbes Nash<\/a>, der Entdecker dieses Gleichgewichts, hat ein \u00e4u\u00dferst wichtiges Ph\u00e4nomen bewiesen &#8211; die Theorie der Existenz des Nash-Gleichgewichts. Dieses Theorem besagt, dass das Nash Equilibrium in allen Spielen gefunden werden kann, in denen die Anzahl der Entscheidungen nicht unendlich ist und die Gewinne mit den Aktionen der Spieler korrelieren (oder einen Anreiz bieten, eine auf bestimmten Prinzipien basierende Strategie zu entwickeln).<\/p>\n<p>Das bedeutet, dass das Nash Equilibrium nicht nur in Tabellen existiert, sondern im gesamten Pokerspiel von Preflop bis zur letzten River-Entscheidung. F\u00fcr jede Pokerstrategie, die mindestens eine Regel hat, gibt es eine GTO-L\u00f6sung, die sich als einseitiges Nash Equilibrium manifestiert. Die Suche nach solchen Game Theory Optimal Pokerl\u00f6sungen werden wir im n\u00e4chsten Teil dieses Artikels besprechen.<\/p>\n<p>Solche Strategien k\u00f6nnen bereits mit den angebotenen Solvern gefunden werden. GTO ist also nicht nur f\u00fcr \u201eTop Top Regs\u201c.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"GTO_und_Nash_Equilibrium_Mythen\"><\/span>GTO und Nash Equilibrium Mythen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p>Wie bereits erw\u00e4hnt, h\u00f6ren wir im Poker meist nur von Nash Equilibrium, wenn wir \u00fcber Preflop-Tabellen sprechen, und von GTO nur, wenn wir \u00fcber Solver oder eine sehr entfernte und abstrakte Strategie sprechen. Tats\u00e4chlich sind diese Konzepte auf alle Pokerniveaus anwendbar.<\/p>\n<p>Warum wurden zuerst Nash-Tabellen erstellt, bevor man begann, \u00fcber komplexere GTO-Strategien zu sprechen? Zun\u00e4chst einmal, wie gut bekannt ist, sind diese Tabellen am besten anwendbar bei sehr niedrigen effektiven Stackgr\u00f6\u00dfen.<\/p>\n<p>Je weniger Chips, desto weniger M\u00f6glichkeiten sowohl Pre- als auch Postflop. Zu diesem Grund kommt die Bedeutung von Postflop bei Deep Stacks hinzu. Viele Spieler m\u00f6gen es nicht, AA bei jeder Gelegenheit open zu shoven.<\/p>\n<p>Der zweite, weitaus wichtigere Grund ist die Vereinfachung des Spiels. Das Nash Equilibrium erfordert das vollst\u00e4ndige Verst\u00e4ndnis der Strategie mindestens eines Spielers, was in vielen Pokersituationen nicht realistisch ist. Viele Freizeitspieler haben wahrscheinlich nur Ans\u00e4tze einer Strategie anstelle rationaler Spielregeln. Aus diesem Grund konnte das <a href=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/cash-games-pradmenys-pokerio-mokykloje\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Nash-Gleichgewicht im Poker<\/a> nur durch Vereinfachung des Spiels erreicht werden.<\/p>\n<p>GTO-Solver und andere moderne Programme erm\u00f6glichen es, eine Strategie zu berechnen, die dem Nash-Gleichgewicht nahekommt. Die besten Solver erreichen zwar immer noch nicht die Perfektion, aber f\u00fcr viele Spieler ist das nicht wichtig. Die durchschnittliche Ausnutzbarkeit pro Pot liegt unter 0,1 %, was in der Pokerpraxis nichts bedeutet, da die Spieler nicht in der Lage sein werden, sich alle m\u00f6glichen GTO-Strategien zu merken.<\/p>\n<p>Der wichtigste praktische und theoretische Aspekt von GTO und Solvern ist die Formulierung einer perfekten Gegenstrategie. F\u00fcr jede Pokerstrategie kann eine optimale, maximal EV-Strategie gefunden werden. Diese Strategie wird maximal profitabel sein, solange der andere Spieler sie nicht \u00e4ndert.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter Poker GTO Solver Beispiel wp-image-761413 size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"656\" src=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-Solveris.jpg\" alt=\"Poker GTO Solver Beispiel\" class=\"wp-image-761413\" srcset=\"https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-Solveris.jpg 1024w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-Solveris-300x192.jpg 300w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-Solveris-768px-492px.jpg 768w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-Solveris-187px-120px.jpg 187w, https:\/\/pokeriomokykla.com\/app\/uploads\/2020\/03\/Gto-Solveris-700px-448px.jpg 700w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Poker GTO Solver Beispiel<\/figcaption><\/figure>\n<p>Nat\u00fcrlich ist es notwendig, um auch nur die einfachsten optimalen Strategien zu beginnen, den Spielstil des Gegners zu kennen. Am besten w\u00e4re es, die genauen Regeln zu kennen, da diese das Endergebnis stark beeinflussen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Zum Beispiel, wenn wir zwei Spieler h\u00e4tten, einen, der in Position 100 % der Top-Paare floppt und \u00bd Pot Size c-bettet, und einen anderen, der in Position nur 50 % der Top-Paare floppt cbet (mit besseren Kickern), selbst wenn alle anderen Spielregeln identisch sind, werden sich die optimalen Strategien stark unterscheiden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"GTO_im_Poker_%E2%80%93_Neuberechnung_des_Nash-Gleichgewichts\"><\/span>GTO im Poker &#8211; Neuberechnung des Nash-Gleichgewichts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p>Einer der wichtigsten S\u00e4tze, die zu all diesen Nash-Tabellen hinzugef\u00fcgt werden, ist, dass es sich um ein vereinfachtes Pokerspiel handelt. In diesem Spiel kann der Small Blind nur All-in oder Fold spielen, w\u00e4hrend der Big Blind nur Call oder Fold kann.<\/p>\n<p>Spieler k\u00f6nnen keine anderen Aktionen wie Raise ausf\u00fchren und k\u00f6nnen niemals in den Postflop gehen. Dies ist der Hauptgrund, warum in diesen Tabellen immer Small Blind All-in 20+ BB oder sogar h\u00f6here Entscheidungen angezeigt werden, obwohl sie in der Praxis meist nicht anwendbar sind.<\/p>\n<p>Schlie\u00dflich basieren viele dieser Tabellen und Entscheidungen auf den Berechnungen des Buches Mathematics of Poker. Im Gegensatz zu dem, was viele Spieler denken, sollten wir diese Tabellen nicht blind auf unser Spiel anwenden, da wir, insbesondere gegen Freizeitspieler, mit dieser Tabelle niemals das gew\u00fcnschte Nash Equilibrium erreichen werden.<\/p>\n<p>Ein sehr einfaches, aber die Situation gut veranschaulichendes Beispiel ist ein Spieler, der mit beliebigen zwei Karten 25 BB deep shovt. In diesem Fall w\u00e4ren die Tabellen weder nahe am Nash Equilibrium noch nahe am maximalen EV, da die optimale Strategie anders w\u00e4re.<\/p>\n<p>Die optimale Strategie w\u00fcrde es erlauben, breiter zu callen, da der Small Blind viel mehr schlechte H\u00e4nde spielen w\u00fcrde als in den L\u00f6sungen angegeben.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00c4nderungen im Nash-Gleichgewicht<\/h3>\n<p>Nat\u00fcrlich wird es in der Realit\u00e4t viel mehr kleinere Abweichungen von der in den Tabellen beschriebenen Strategie geben. Spin n Go und HUSNG Spieler wissen, dass im Bereich von 14-9 BB Heads Up sehr unterschiedlich gespielt wird. Einige Gegner werden viel limpen, andere werden mehr Minraises in ihren Ranges haben und so weiter.<\/p>\n<p>Aufgrund dieser Unterschiede wird sich der optimalste Shove\/Fold-Range immer stark unterscheiden, daher sollte man solche Situationen immer mit ICMizer \u00fcberpr\u00fcfen, insbesondere aus der BB-Perspektive. Nat\u00fcrlich kann es in Situationen, in denen man einem Spieler nur einmal begegnet, notwendig sein, sich auf Intuition oder andere Vereinfachungen der Situation zu verlassen.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-4-3 wp-has-aspect-ratio\">\n<div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe title=\"Comparing Nash Heads Up Ranges Versus The Population\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/xnBlnLLq8Ks?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<\/figure>\n<p>Dies ist ein sehr altes Video \u00fcber Nash-\u00c4nderungen, aber es veranschaulicht hervorragend, wie sich das optimale Spiel \u00e4ndern sollte.<\/p>\n<p>Man kann sich auf Push\/Fold-Tabellen verlassen, wenn das Spiel immer n\u00e4her an 1 BB effektive Stacks heranr\u00fcckt, da alle m\u00f6glichen Strategien dem Nash-Gleichgewicht n\u00e4her kommen. Abgesehen von der Strategie &#8220;alles folden&#8221; werden viele Strategien bei 2, 3, 4 oder 5 Big Blinds fast identisch sein oder sich nur sehr geringf\u00fcgig unterscheiden.<\/p>\n<p>In diesem Artikel haben wir die Grundlagen von GTO im Poker sowie das bekannteste Konzept dieser Theorie, das Nash-Gleichgewicht, besprochen. In weiteren Artikeln wird mehr Aufmerksamkeit auf die Suche nach optimalen Strategien und die Funktionsweise von Solvern gelegt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Die_besten_Pokerzimmer_im_Internet\"><\/span>Die besten Pokerzimmer im Internet<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<div class='widget-card placeholder--card'\n     data-source-gql='https:\/\/scg-new-live.stellate.sh\/'\n     data-source-widgetjs='https:\/\/widget.affprojects.com\/widget.js'\n     data-shortcode='widget-card'\n     data-shortcode-text='[top-poker-rooms-for-post]'\n     data-props='{\n\"show_more_button\":true,\n\"show_more_button_text\":\"Show More Bookmakers\",\n\"show_more_text\":false,\n\"show_less_text\":false,\n\"vpn_notification\":false,\n\"show_more_items_amount\":null,\n\"scrollable\":\"always\",\n\"violet_bonus_text\":true,\n\"ab_testing_show_more_button_rework\":true\n}'\n     data-queries='{\n\"type\":\"TOP-Poker\",\n\"limit\":10,\n\"mobile_limit\":10,\n\"show_new\":1,\n\"button_text_type\":\"TOP\",\n\"language\":\"de\",\n\"project\":\"PM\",\n\"page\":1\n}'\n     ><\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Spieltheorie geh\u00f6rt zum Bereich der Mathematik. 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